Het probabilistisch model van het benedenrivierengebied in hoofdlijnen - Bijlage C Probabilistisch model van het benedenrivierengebied

Beschouwing van de afvoer

In Hydra-B worden voor de lage en hoge afvoerniveau’s verschillende berekeningswijzen gebruikt. Ze worden gescheiden door een grenswaarde qg. Het is overigens mogelijk om over te stappen op één methode, hier wordt aan het eind van de paragraaf op teruggeko- men.

De overschrijdingsfrequentie F(h), van belastingniveau h, wordt in Hydra-B berekend als

waarin Flaag(h) de overschrijdingen geeft tijdens afvoeren lager dan qgen Fhoog(h) de over- schrijdingen geeft tijdens afvoeren hoger dan qg. De berekeningswijzen voor de hoge en lage afvoeren zullen nu worden behandeld.

Methode voor hoge afvoeren.

Voor de hoge afvoeren wordt gebruik gemaakt van standaardafvoergolven en hun kans van optreden (zie paragraaf C.7). Voor iedere standaardafvoergolf wordt de kans berekend dat tijdens het passeren van de afvoergolf de hydraulische belasting h één of meerdere malen wordt overschreden. Deze kans wordt vermenigvuldigd met de frequentie dat een afvoergolf optreedt in het voor de betreffende afvoergolf karakteristieke afvoerinterval. Ten slotte wordt gesommeerd over alle standaardafvoergolven. Deze methode is reeds eerder gebruikt, onder meer in Duits et al. (1998). Omdat individuele afvoergolven worden beschouwd, wordt de methode aangeduid als de IAG-methode, wat staat voor Individuele Afvoergolven Methode (Geerse, 2002b).

Bij de methode wordt de standaardafvoergolf opgedeeld in tijdsintervallen van 12 uur en 25 minuten (duur van het getij).

Beschouw een standaardafvoergolf met piekwaarde k. Stel dat het deel van de afvoergolf boven grenswaarde qgkan worden verdeeld in n getijperiodes. Voor de getijperiode i met afvoer q(i) geldt dat de kans P(Hq(i)>h) dat h wordt overschreden bekend is, deze kans is namelijk gelijk aan de getijkans. Nu zijn we geïnteresseerd in de kans dat gedurende de afvoergolf niveau h minimaal éénmaal wordt overschreden (tijdens afvoeren groter dan qg). Die kans is gelijk aan 1- de kans dat h niet wordt overschreden gedurende het passeren van de afvoergolf k.

De kans dat niveau h niet wordt overschreden in de getijperiode i is gelijk aan:

De kans dat tijdens de hele afvoergolf het niveau h niet wordt overschreden is, onder de aanname van onafhankelijke getijperiodes, het product van al die kansen in de n getijperiodes in de afvoergolf:

De kans dat in een willekeurige afvoergolf met piekwaarde k, verdeeld in n getijperiodes, niveau h juist wel minstens eenmaal wordt overschreden is dan:

Het deel van de afvoeren boven qgwordt nu gediscretiseerd met stapgrootte ∆k, wat leidt tot q1= qg, q2= qg+∆k, q3= qg+2∆k,... Fpiek(k) geeft de overschrijdingsfrequentie, in keren per jaar, van de afvoergolven met piekwaarde k aan (werklijn van de afvoer). De frequentie waarmee afvoergolven voorkomen met piekwaarde k in interval [ki, ki+∆k], is dan gelijk aan:

Als ∆k voldoende klein genomen wordt hebben alle golven met piekwaarde in [ki, ki+Δk] nagenoeg dezelfde kans op het optreden van minstens één overschrijding van niveau h tijdens de golf, die dan gelijk genomen kan worden aan Pgolf(H>h|Qpiek = (ki+ki+1)/2). De totale overschrijdingsfrequentie voor de hoge afvoeren kan dan berekend worden als:

In Hydra-B wordt voor de meest bovenstrooms gelegen locaties ∆k = 50 m3/s genomen voor de locaties langs de Rijn en ∆k = 10 m3/s voor de locaties langs de Maas; Verder bene- denstrooms worden grotere discretisaties genomen (met nog steeds voldoende nauwkeu- rige resultaten).

Methode voor lage afvoeren

Voor lage rivierafvoeren (lager dan een bepaalde grensafvoer qg) zijn op dit moment geen standaard-afvoergolven beschikbaar. De bijdrage van die afvoeren wordt dan ook niet volgens de bovenbeschreven IAG methode bepaald maar met een variant op de methode die al door de Deltacommissie werd toegepast in de vijftiger jaren van de vorige eeuw. De Deltacommissie betrok alleen stormvloeden en afvoeren in de berekening, terwijl Hydra-B ook de windsnelheid, windrichting en situatie van de stormvloedkeringen meeneemt.

De methode werkt in grote lijnen als volgt. Het domein van de afvoeren tussen de grensaf- voer (qg) en q=0 wordt ingedeeld in intervallen. Van ieder interval is met de zogenaamde dagenlijn te bepalen hoeveel dagen gemiddeld de afvoer per winterhalfjaar zich in dat inter- val bevindt. Delen we vervolgens dat aantal dagen door het totaal aantal dagen van het winterhalfjaar, dan vinden we de kans dat op een willekeurig tijdstip de afvoer zich in het betreffende interval bevindt. Vermenigvuldigen we die kans met de getijkans voor dat inter- val, dan vinden we voor dat interval de kans dat het belastingsniveau h wordt overschreden gedurende een getijperiode. De kans op overschrijding gedurende een getijperiode voor alle afvoeren lager dan de grenswaarde (qg) wordt gevonden door de kans op overschrijden van alle intervallen te sommeren. Wanneer daarna wordt vermenigvuldigd met het aantal getij- perioden in een winterhalfjaar, wordt Flaag(h) gevonden.

Meer in detail gaan de berekeningen als volgt. Geef met D(q) de dagenlijn aan, waarbij deze grootheid het gemiddeld aantal overschrijdingsdagen van niveau q aangeeft, gedu- rende het winterhalfjaar. Discretiseer nu het afvoerdomein van 0 tot qgals q1= 0, q2= ∆q, q3= 2∆q,..., qM= qg. De kans dat een afvoer q zich in het interval [qi, qi+1] bevindt is dan gelijk aan:

Hierin is N=182 hetgeen overeenkomt met het aantal dagen in een winterhalfjaar. Als ∆q voldoende klein genomen is hebben alle afvoeren in [qi, qi+1] dezelfde getijkans, die dan gelijk mag worden gesteld aan P(Hq*>h), met q* = (qi+qi+1)/2. Dan volgt voor de kans op overschrijden van het niveau h in een getijperiode, in combinatie met een afvoer in [qi, qi+1]:

Sommatie over alle afvoerklassen onder de grenswaarde qg levert dan de kans op een over- schrijding, in combinatie met een afvoer lager dan qg, in een getijperiode. Om aan Flaag(h) te komen, dient die kans nog vermenigvuldigd te worden met het aantal getijperioden per winterhalfjaar (dit is gelijk aan 352 getijperioden in Hydra-B). Dat levert dus:

Voor meer gedetailleerdere informatie betreffende bovenstaande afleidingen wordt verwezen naar Geerse (2003a).

In principe is het mogelijk om ook voor de lage afvoeren de IAG methode toe te passen. De lage golfvormen en het lage deel van de werklijn moeten dan als ‘kunstmatige’ onderdelen van de afvoerstatistiek worden beschouwd, die tezamen de wel reële momentane kans die- nen te representeren. Voor meer informatie zie Geerse (2003a) en paragraaf 6.6 uit Slomp et al. (2005). De benodigde synthetische golven/werklijn zijn voor de Rijn en de Maas eeds bepaald, zowel voor de HR2001 als voor de Thermometerrandvoorwaarden 2006 (zie Geerse (2005) en de daarin genoemde referenties).

Om met name de transparantie van Hydra-B te bevorderen, wordt aanbevolen, bij de bere- kening van de ontwerpbelastingen, deze synthetische golven/werklijn toe te passen.