Schematiseringtheorie en schematiseringfactor
Een opmerking vooraf. Waar in dit hoofdstuk gesproken wordt over (onzekerheid over) de ondergrondopbouw wordt tevens bedoeld (onzekerheid over) de opbouw van het dijklichaam. Met waterspanningen worden zowel de ligging van het freatisch vlak (de grondwaterspiegel) in de dijk en de bovenste grondlagen bedoeld, als grondwaterdrukken in de diepere grondlagen (hydrostatische, of over- of onder- spanningen). De opbouw van het dijklichaam heeft grote invloed op de ligging van het freatisch vlak bij hoge buitenwaterstanden. Onzekerheid over de opbouw van het dijklichaam impliceert dan ook onzekerheid over de ligging van het freatisch vlak in de dijk.
Onzekerheden over de ondergrondopbouw en de waterspanningen worden zicht- baar gemaakt door aan te geven welke verschillende schematiseringen (scenario’s) mogelijk geacht worden, of niet uit te sluiten zijn, op grond van de beschikbare kennis en informatie. De scenario’s kunnen variëren van gunstig tot ongunstig. De keuze van een gunstig scenario als basisschematisering (optimistische keuze, of ‘optimistisch scenario’) kan leiden tot overschatting van de werkelijke veiligheid van de dijk en is daardoor mogelijk een onveilige keuze. De keuze van een ongun- stig scenario kan leiden tot onderschatting van de werkelijke veiligheid en is daar- door mogelijk een te veilige keuze. De gedachte is dat ‘de werkelijkheid’ door één van die scenario’s het beste wordt gerepresenteerd, alleen is niet bekend door welk. Wel zullen, op grond van kennis en beschikbare informatie, intuïtief of beredeneerd niet alle scenario’s even geloofwaardig worden geacht. Een manier om dat tot uit- drukking te brengen is door aan alle scenario’s een kans toe te kennen. Met de kans op een scenario wordt tot uitdrukking gebracht hoe waarschijnlijk we het vinden dat de ‘werkelijkheid’ juist door dat scenario (het beste) wordt gerepresenteerd.
Doorgaans zal een geotechnisch ingenieur voor berekeningen van de veiligheid van een dijk uitgaan van een van de meest ongunstige scenario’s voor ondergrond- opbouw en waterspanningen. Wanneer, bijvoorbeeld, de stabiliteitsfactor voor het binnentalud van een dijk (bestaand of alleen nog maar op papier ontworpen) bij deze keuze aan de vereiste minimale waarde voldoet, dan is de kans klein dat de dijk onterecht wordt goedgekeurd, of dat het ontwerp niet veilig genoeg is.
Bij het toetsen op veiligheid van dijken en het ontwerpen van dijkversterkingen weegt dit zwaar. Maar, een zeer conservatief uitgangspunt voor de berekeningen kan er ook toe leiden dat onterecht wordt afgekeurd, of dat een ontwerp onnodig duur wordt. Namelijk in het geval de kansen op die ongunstige scenario’s extreem klein zijn. De geotechnisch ingenieur moet bij de keuze van de schematisering voor ontwerp- of toetsanalyses, de basisschematisering, dus afwegingen maken.
Daarbij spelen de kansen op de verschillende scenario’s en de effecten ervan op de te berekenen veiligheidsfactor (zoals de stabiliteitsfactor) een grote rol. Die afwegingen gebeurden tot nu toe impliciet. Er zijn geen handreikingen of recepten voor en daardoor zijn ze ook erg onderhevig aan subjectiviteit.
De schematiseringtheorie is ontwikkeld als instrument om die afwegingen gestructureerd te kunnen doen. Het is een hulpmiddel bij het kiezen van één van de mogelijke scenario’s, welke als uitgangspunt voor de grondmechanische veilig- heidsanalyse gebruikt wordt (de basisschematisering). De theorie is bedoeld als een expliciete beschrijving van het in de voorgaande alinea genoemde impliciete afwegingsproces.
De schematiseringfactor is een onderdeel van deze theorie. Bij het kiezen van een basisschematisering hoeft niet noodzakelijk te worden uitgegaan van (een van) demeest ongunstige scenario’s. Wel moet er rekening mee gehouden worden dat de werkelijkheid conform die scenario’s kan zijn, ook al is de kans wellicht heel klein. Dit gebeurt door een extra veiligheidsfactor toe te passen, de schematiseringfactor. Deze is afhankelijk van de kansen op deze ongunstige scenario’s en de (geschatte) effecten ervan op de veiligheidsfactor, als hier wel mee gerekend zou worden.
De verschillende scenario’s en de kansen erop weerspiegelen dus de mate van onzekerheid over hoe de ondergrondopbouw werkelijk is en welke waterspanningen er in de toets- of ontwerpsituatie werkelijk zullen optreden. Naarmate meer of betere informatie beschikbaar komt, bijvoorbeeld door grondonderzoek, kunnen die kansen veranderen. We illustreren met het volgende voorbeeld.
Stel, dat in een op stabiliteit te onderzoeken dijkstrekking op grond van de geologie verondersteld mag worden dat in de ondergrond zandbanen van beperkte breedte aanwezig kunnen zijn, die in contact staan met de rivier. Als ze aanwezig zijn, hebben ze locaal een ongunstige invloed op de stabiliteit van het binnentalud van de dijk, doordat bij een hoge rivierstand de binnendijkse deklaag op zou kunnen drijven.
Stel nu dat bij het grondonderzoek, door middel van sonderingen om de 100 meter, geen zandbaan is aangetroffen. We kunnen dan nog niet met zekerheid vaststellen dat zich in de onderzochte strekking geen zandbanen bevinden. Immers, een zand- baan met een breedte van 80 meter zou geheel tussen twee sondeerpunten in kun- nen liggen. Naarmate de afstand tussen de sondeerpunten kleiner is, is die kans natuurlijk kleiner (zie ook figuur 2.2).
We werken dit voorbeeld verder uit om het basisidee van de schematiseringtheorie te illustreren. De feitelijke theorie wordt hier verder niet beschreven, maar is in bijlage B opgenomen.
Stel dat er slechts twee mogelijke scenario’s zijn, namelijk het scenario S1: ‘er is geen zandbaan die in contact staat met de rivier’ en het scenario S2: ‘er is wel een zandbaan die in contact staat met de rivier’. Vaak zullen er meer scenario’s zijn, maar dit voorbeeld dient alleen om de gedachte achter de schematiseringfactor uit te leggen. Stel verder dat de kansen op die scenario’s in eerste instantie als volgt zijn geschat: P(S1)=0,90 en P(S2)=0,10. De som van deze kansen moet gelijk aan 1,0 zijn, immers de werkelijkheid is óf conform scenario S1, óf conform scenario S2.
Stel nu vervolgens dat we een bestaande dijk of een dijkontwerp beschouwen, waarvan de afmetingen en alle andere voor een stabiliteitsberekeningen relevante gegevens bekend zijn. We zijn dan in staat de stabiliteitsfactor van deze dijk te berekenen. Deze noteren we als Fd(subscript d staat voor berekend met reken- waarden voor de schuifsterkte). Stel dat die stabiliteitsfactor, als de werkelijke ondergrondopbouw en de waterspanningen conform het scenario S1zijn, gelijk is aan 1,20. We noteren dit als F(D|S1)=1,20. Hierin staat de notatie D⎪S1voor ‘de dijk, in combinatie met scenario S1’. En stel dat de stabiliteitsfactor, als de werke- lijkheid conform scenario S2is, een stuk kleiner is, namelijk F(D|S2)=1,04, omdat bij dit scenario opdrijven van de binnendijkse deklaag optreedt.
De eis voor een veilige dijk is dat de stabiliteitsfactor groter moet zijn dan de vereiste schadefactor, die noteren we als n, eis (voor het gemak laten we de modelonzekerheidsfactor buiten beschouwing).Veronderstel nu dat de vereiste schadefactor γn, eis = 1,15 is.
Indien scenario S1overeenkomt met de werkelijkheid, dan wordt voldaan aan de veiligheidseis; immers F(D⎪S1)=1,20. Maar als scenario S2de werkelijkheid repre- senteert is er een aanzienlijk tekort aan veiligheid en zou de dijk afgekeurd moeten worden of het ontwerp moeten worden aangepast.
Echter, als de kans op scenario S2maar voldoende klein is, is dat toch niet nodig. Om dat te illustreren moeten we van stabiliteitsfactoren en schadefactoren over- stappen naar faalkansen. In bijlage B is een globale relatie tussen stabiliteits- factoren en (reken)faalkansen gegeven. Passen we die toe, dan vinden we:
-
Voor de toelaatbare faalkans (overeenkomend met de eis aan de schadefactor:
γn, eis = 1,15): Pf, toel = 1,3 10-7
-
Voor de faalkans als scenario S1werkelijkheid zou zijn: Pf(D|S1) = 1,8 10-8:
-
Voor de faalkans als scenario S2werkelijkheid zou zijn: Pf(D|S2) = 9,5 10-6
Gaan we nu uit van de scenariokansen P(S1) = 0,9 en P(S2)= 0,10, dan is de faalkans van de dijk:
Pf= Pf(D|S1) P(S1) + Pf(D⎪|2) P(S2)
= 1,8 10-8 x 0,9 + 9,5 10-6 x 0,1 ≈ 9,6 10-7 (3.1)
Deze kans is bijna 8 keer groter dan de toelaatbare faalkans. Dus de dijk voldoet niet aan de veiligheidseis. Dat betekent dat de keuze voor scenario S1als uitgangspunt voor de toets- of ontwerpanalyse in dit geval een verkeerde keuze is, omdat die keuze leidt tot goedkeuren van een onvoldoende veilige dijk.
Maar het wordt anders wanneer de kans op scenario S2veel kleiner is. Stel dat deze niet 0,10 is maar tien keer zo klein, dus 0,01. Terzijde merken we op dat deze kleinere kans gebaseerd zou kunnen zijn op additioneel grondonderzoek.De faalkans is dan:
Pf = 1,8 10-8 x 0,99 + 9,5 10-5 x 0,01 ≈ 1,110-7 (3.2)
en deze kans is een fractie kleiner dan de toelaatbare faalkans. In dat geval is de dijk (of het ontwerp)wel voldoende veilig en leidt de keuze van S1als uitgangspunt voor de stabiliteitsanalyse, met een stabiliteitsfactor van 1,20, niet tot de verkeerde conclusie. Dat komt omdat de kans op scenario S2zoveel kleiner is, maar ook omdat de stabiliteitsfactor, als we uitgaan van scenario S1, groter is dan de vereiste schadefactor (1,20 versus 1,15).
De crux van de schematiseringfactor kan als volgt uitgelegd worden. Wanneer we een scenario voor de schematisering van ondergrondopbouw en waterspanningen als uitgangspunt voor de stabiliteitsberekening kiezen moeten we er toch op een of andere manier rekening mee houden dat de werkelijkheid ongunstiger kan zijn (hoewel de kans daarop klein of zeer klein kan zijn). Dit kan door een extra veilig- heidsfactor, de schematiseringfactor γb toe te passen. De eis aan de berekende stabiliteitsfactor bij de gekozen schematisering wordt dan dat deze tenminste gelijk moet zijn aan het product van vereiste schadefactor en schematiseringfactor.
De grootte van de schematiseringfactor is afhankelijk van de grootte van de kansen op de ongunstiger scenario’s dan de gekozen basisschematisering en de mate waarin stabiliteitsfactoren bij die scenario’s kleiner zijn dan de vereiste schadefactor. Kijken we naar het rekenvoorbeeld, dan zien we dat scenario S2, met een kans
van 0,01 en een tekort aan stabiliteitsfactor van 0,11, net gecompenseerd wordt, doordat de stabiliteitsfactor F(D|S1)=1,20 groter is dan de vereiste waarde van 1,15.In dit geval is dus de benodigde schematiseringfactor γb≈1,20/1,15 = 1,04.
