Door Sellmeijer [Sellmeijer, 1988] is in het kader van TAW-onderzoek een mathematisch rekenmodel voor terugschrijdende erosie ontwikkeld. Het model is gebaseerd op een combinatie van stroming door een watervoerende zandlaag (met homogene doorlatendheid en een constante dikte die zich uitstrekt tot ver voorbij het uittreepunt), stroming door het erosiekanaal en het krachtenevenwicht op de korrel. Uitgangspunt voor het mathematische model is de configuratie van dijk en ondergrond. Door de zandlaag vindt onder invloed van het verval grondwaterstroming plaats. Aangenomen wordt dat zich een erosiekanaal ontwikkeld heeft met de lengte ‘l’.

Sellmeijer modelleert deze pipe als spleet onder de constructie. In de pipe vindt laminaire stroming richting het opbarstkanaal plaats. Op de zandkorrels op de rand tussen pipe en zandlaag worden krachten uitgeoefend door de uittredende grondwaterstroming en door de stroming van het water in de pipe. Het oorspronkelijke wiskundige model [Sellmeijer, 1988] bestaat uit een koppeling van:

• De potentiaalvergelijking voor de beschrijving van grondwaterstroming in de zandlaag. Randvoorwaarden zijn:
  • Potentiaal Φ = H aan de bovenkant van de zandlaag aan de bovenstroomse zijde van de constructie.
  • Ondoorlatende rand aan onderkant constructie.
  • Potentiaal Φ = h_p aan de bovenkant van de zandlaag aan benedenstroomse zijde van de constructie.
  • Potentiaal in de spleet: potentiaal in het zand is gelijk aan de potentiaal van het water in de spleet.
• Een vergelijking voor laminaire stroming van het water door de spleet.
• Een evenwichtsvergelijking van de op een korrel op de bodem van het erosiekanaal werkende krachten. Hierbij is verondersteld dat bij beweging de korrel rolt en dat dus de rolweerstand bepalend is.

Dit grensevenwicht werd in 1989 door Sellmeijer beschreven door het zogenaamde vier- krachtenmodel. De kracht op een korrel op de bodem van het erosiekanaal in richting van het kanaal bestaat volgens dit model uit twee horizontale krachten (sleepkracht en horizontale stromingsdruk) en twee verticale krachten (verticale stromingsdruk en eigengewicht korrel). De veronderstelling van een vier-krachtenevenwicht is alleen juist als de korrel goed ingebed is tussen de andere korrels. Voor een grote, in het erosiekanaal uitstekende korrel, waaromheen de andere korrels afgevoerd zijn, is dit niet meer het geval.

Het vier-krachtenmodel is daarom veranderd tot een twee-krachtenmodel. In het twee- krachtenmodel worden bij de definitie van het grensevenwicht de horizontale en de verticale stromingsdruk niet meer meegenomen.

Met behulp van deze vergelijkingen wordt berekend wat het maximale verval over de constructie/dijk is, waarbij de zandkorrels nog juist in evenwicht zijn. Dit verval is afhankelijk van de verhouding l/L tussen de lengte l van het erosiekanaal en de lengte L van de constructie/dijk, de doorlatendheid van het watervoerende zandpakket, de sleepkrachtcoëfficiënt (coëfficiënt van White) en de diameter en de rolweerstand van de zandkorrels in het pipinggevoelige bovengedeelte van het watervoerende pakket.

Berekend wordt het verval waarbij net evenwicht wordt gevonden, en de zandkorrels op de rand tussen pipe en zandlaag niet in beweging komen. Hierbij wordt een stationaire toestand beschouwd. Het verval ”H_eq, waarbij de korrels net in evenwicht zijn, is afhankelijk van de lengte van de pipe en is als functie van l/L uitgezet in Figuur 2.

Het blijkt dat er, zoals in de configuratie die in Figuur 1 is geschetst, een maximum verval is. Dit maximale verval wordt het kritieke verval ”H_c genoemd. Volgens de theorie van Sellmeijer zou het verval bij een verhouding l/L = 0,5, waarbij net evenwicht gevonden wordt, het grootst zijn.

De interpretatie van deze uitkomst is als volgt. Bij een verval over de constructie dat kleiner is dan het kritieke verval zal door erosie een kanaaltje (met vertakkingen) ontstaan, die net zolang doorgroeit tot de met dit verval corresponderende kanaallengte is bereikt.

De stromingsgradiënten zijn dan zodanig afgezwakt dat de zandkorrels op de rand van het kanaal weerstand kunnen bieden aan de aanstroomkrachten. Wordt het verval opgevoerd, dan zal het kanaal weer gaan groeien, tot een nieuw evenwicht wordt bereikt. Het erosieproces stopt, zolang het verval niet groter is dan het kritieke verval. Wordt het verval wel groter dan zal het kanaal door blijven groeien, omdat het verval waarbij evenwicht mogelijk is, kleiner is dan het aanwezige verval. Het kanaal groeit dan uit tot een open kanaaltje tussen boven- en benedenstroomse kant van de constructie; piping is daarmee een feit.

Het verloop van het evenwichtsverval over de dijkbasis zoals geschetst in Figuur 3 is alleen voor een standaard dijkconfiguratie van toepassing. Bij andere configuraties, zoals bijvoorbeeld een dijk zonder deklaag binnendijks kan het evenwicht al veel eerder bereikt zijn. Dit verloop lijkt sterk afhankelijk te zijn van de stromingssituatie aan het uittredepunt.

Met dit rekenmodel is door Sellmeijer een groot aantal numerieke berekeningen van het kritieke verval uitgevoerd voor verschillende combinaties van de parameters die een rol spelen. Vervolgens is door nauwkeurige curve-fitting op deze berekeningsresultaten een benaderende analytische formule afgeleid.

In het kader van het project SBW Piping is fundamenteel onderzoek verricht naar het mechanisme piping [Knoeff, et al., 2009], [Koelewijn, 2009] en [De Vries, 2009]. Het uitgevoerde onderzoek omvatte proeven op kleine (0,35 m), medium (1,35 m) en grote schaal (15 m). Het doel van het onderzoek was een hervalidatie van de theorie van Sellmeijer zoals beschreven in het voormalige Technisch Rapport Zandmeevoerende Wellen [Förster, et al., 2012]. Het model en de voor de toetsing te gebruiken rekenregel zijn opnieuw gekalibreerd met de nieuwe experimentele data.

De eigenschappen uniformiteit, hoekigheid, doorlatendheid en korrelgrote kunnen en hoeven in proeven voor Nederlandse omstandigheden niet onafhankelijk te worden gevarieerd omdat de uniformiteit (zoals de meeste korrelgroottekarakteristieken) direct gekoppeld is aan de doorlatendheid. Mede op basis van de resultaten van deze analyse is een aangepaste rekenregel voor piping afgeleid [Sellmeijer, 2011].