Inleiding

Het in dit artikel behandelde stromingsmodel betreft een ondoorlatende dijk op een zandondergrond (Model 4B). Door het ontbreken van een deklaag in het voor- en achterland is er sprake van radiale intree en uittree van water. Zie voor het overzicht van de overige “modellen” het artikel Modellen van het stijghoogteverloop in een zandlaag onder een ondoorlatende dijk.

Uitwerking

Een schets van model 4B is gegeven in figuur 1. De ligging van de stroom- en de potentiaallijnen in de zandondergrond is analytisch te bepalen met behulp van de methode van conforme afbeelding.

Volgens deze oplossing volgt het debiet Q Debiet [m²/s] onder de dijk uit:

Het stijghoogteverloop ϕ Stijghoogte [m+NAP](x Eerste horizontale coördinaat [m]) langs de stroomlijn aan de zool van de dijk (y Tweede horizontale coördinaat [m] = D Dikte watervoerende laag [m]) volgt voor 0 ≤ x Eerste horizontale coördinaat [m] <L Lengte [m], met de bovenstaande betrekking voor Q Debiet [m²/s] uit:

Het stijghoogteverloop ϕ Stijghoogte [m+NAP](x Eerste horizontale coördinaat [m]) voor - L Lengte [m] < x Eerste horizontale coördinaat [m] ≤ 0 volgt op grond van symmetrieoverwegingen uit het stijghoogteverloop voor 0 ≤ x Eerste horizontale coördinaat [m] < L Lengte [m].

Het stijghoogteverloop aan de zool van de dijk is voor een aantal waarden van L Lengte [m]/D Dikte watervoerende laag [m] grafisch weergegeven in figuur 2.

Uit de figuur blijkt duidelijk dat het stijghoogteverloop voor grotere waarden van L Lengte [m]/D Dikte watervoerende laag [m] nadert tot een lineair verloop, met nog slechts enige kromming nabij intreepunt en uittreepunt. Dit stijghoogteverloop kan voor waarden van L Lengte [m]/D Dikte watervoerende laag [m]groter dan 0,5 redelijk geschematiseerd worden tot een rechte lijn met stijghoogtesprongen ter plaatse van het intreepunt en het uittreepunt (figuur 3).

Analytisch kan dit lineaire verloop als volgt worden afgeleid:

De eerder gegeven uitdrukking voor het debiet Q kan voor de waarden va

goed benaderd worden door:

Hieruit volgt:

W_t Totale weerstand, som van de weerstandstermen [s/m] schematiseert de totale weerstand van het zandpakket tegen doorstroming (zie ook Model 4A), en bestaat daarmee uit de som van drie weerstanden:

Op eenzelfde wijze als bij model 4A geldt nu:

Variant op model met deklaag in voor- of achterland

Als in het voorland of het achterland afdekkende, ondoorlatende lagen aanwezig zijn, wordt het stijghoogteverloop op soortgelijke wijze verkregen.

De totale weerstand tegen stroming in het zandpakket volgt uit de som van de weerstanden W_t Totale weerstand, som van de weerstandstermen [s/m] = ΣL_i Indringlengte, oftewel de dikte van de indringingslaag [m]/(k Doorlatendheid(scoëfficiënt) [m/s].D Dikte watervoerende laag [m]) (met i Teller, betreffende het datapunt i [-] = 1, 2,...) van de deelgebieden voorland, dijk en achterland, en de radiale intree- en uittreeweerstanden W_i Weerstandsterm van de radiale instroming via het voorland [s/m] en W_u Weerstandsterm van de radiale uitstroming in het achterland [s/m] indien ze aanwezig zijn. Het stijghoogteverloop in de zandondergrond is lineair en evenredig met de weerstand. Als voorbeeld dient de situatie in figuur 4.

De totale weerstand:

Het debiet Q Debiet [m²/s] onder de dijk volgt uit:

De stijghoogte aan de binnenteen en de buitenteen volgt uit:

Verklaring symbolen

D Dikte van de watervoerende laag [m].

H Niveauverschil wat de dijk keert [m].

k Doorlatendheid van het zand in de watervoerende laag [m/s].

k_vi Doorlatendheid (verticale stroming) van de deklaag in het voorland (i=1) en het achterland (i=3) [m/s].

L Halve lengte van de dijkbasis [m].

L_i Lengte van het element dat weerstand levert, zie Figuur 3. Voor i=1: het voorland; voor i=2: de dijkbasis [m].

Q Debiet onder de dijk door [m³/s/m¹].

W Weerstandsterm, het subscript i staat voor de radiale instroming; basis voor de stroming onder de dijkbasis; u voor de radiale uitstroming en t voor de som van alle weerstanden [s/m].

λ_i Lekfactor, spreidingslengte of leklengte van het voorland (i Teller, betreffende het datapunt i [-]=1) en het achterland (i Teller, betreffende het datapunt i [-]=3) [m].

ϕ_i Representatieve stijghoogte in de watervoerende laag, zie Figuur 4, voor i Teller, betreffende het datapunt i [-]=0: ver buitendijks oftewel de buitenwaterstand; voor i Teller, betreffende het datapunt i [-]=1: onder de buitenteen van de dijk; voor i Teller, betreffende het datapunt i [-]=2: onder de binnenteen van de dijk; voor i Teller, betreffende het datapunt i [-]=3: ver binnendijks, oftewel het polderpeil [m].