In dit artikel wordt een eenvoudig rekenvoorbeeld gegeven ter toelichting op de schematiseringfactor voor een ontwerpcase.

Stel, dat in een op stabiliteit te onderzoeken dijkstrekking op grond van de geologie verondersteld mag worden dat in de ondergrond zandbanen van beperkte breedte aanwezig kunnen zijn, die in contact staan met de rivier. Als ze aanwezig zijn, hebben ze lokaal een ongunstige invloed op de stabiliteit van het binnentalud van de dijk, doordat bij een hoge rivierstand de binnendijkse deklaag zou kunnen opdrijven.

Stel nu dat bij het grondonderzoek, door middel van sonderingen om de 100 meter, geen zandbaan is aangetroffen. We kunnen dan nog niet met zekerheid vaststellen dat zich in de onderzochte strekking geen zandbanen bevinden. Immers, een zandbaan met een breedte van 80 meter zou geheel tussen twee sondeerpunten in kunnen liggen. Naarmate de afstand tussen de sondeerpunten kleiner is, is die kans natuurlijk kleiner. Zie de onderstaande figuur die een vergelijkbaar probleem illustreert.

We werken dit voorbeeld verder uit om het basisidee van de schematiseringtheorie te illustreren. De feitelijke theorie is opgenomen in Schematiseringfactor voor afschuiven.

Stel dat er slechts twee mogelijke scenario’s zijn, namelijk het scenario 1: ‘er is geen zandbaan die in contact staat met de rivier’ en het scenario 2: ‘er is wel een zandbaan die in contact staat met de rivier’. Vaak zullen er meer scenario’s zijn, maar dit voorbeeld dient alleen om de gedachte achter de schematiseringfactor uit te leggen. Stel verder dat de kansen op die scenario’s in eerste instantie als volgt zijn geschat: P_s1 Kans dat scenario 1 optreedt [-] = 0,90 en P_s2 Kans dat scenario 2 optreedt [-] = 0,10. De som van deze kansen moet gelijk aan 1,0 zijn, immers de werkelijkheid is óf conform scenario 1, óf conform scenario 2.

Stel nu vervolgens dat we een bestaande dijk of een dijkontwerp beschouwen, waarvan de afmetingen en alle andere voor een stabiliteitsberekeningen relevante gegevens bekend zijn. We zijn dan in staat de stabiliteitsfactor van deze dijk te berekenen. Deze noteren we als F_d Berekende stabiliteitsfactor [-] (subscript d staat voor berekend met rekenwaarden voor de schuifsterkte). Stel dat die stabiliteitsfactor, als de werkelijke ondergrondopbouw en de waterspanningen conform het scenario 1 zijn, gelijk is aan 1,20. We noteren dit als F_d;s1 Berekende stabiliteitsfactor voor scenario 1, berekend met rekenwaarden voor de schuifsterkte [-] = 1,20. Hierin staat het subscript s1 voor ‘uitgaande van scenario 1’. En stel dat de stabiliteitsfactor, als de werkelijkheid conform scenario 2 is, een stuk kleiner is, namelijk F_d;s2 Berekende stabiliteitsfactor voor scenario 2, berekend met rekenwaarden voor de schuifsterkte [-] = 1,01, omdat bij dit scenario opdrijven van de binnendijkse deklaag optreedt.

De eis voor een veilige dijk is dat de stabiliteitsfactor groter moet zijn dan de vereiste schadefactor, die noteren we als γ_n;eis Vereiste schadefactor [-] (voor het gemak laten we de modelonzekerheidsfactor buiten beschouwing). Veronderstel nu dat de vereiste schadefactor γ_n;eis Vereiste schadefactor [-] = 1,15 is.

Indien scenario 1 overeenkomt met de werkelijkheid, dan wordt voldaan aan de veiligheidseis; immers F_d;s1 Berekende stabiliteitsfactor voor scenario 1, berekend met rekenwaarden voor de schuifsterkte [-] = 1,20. Maar als scenario 2 de werkelijkheid representeert, is er een aanzienlijk tekort aan veiligheid en zou de dijk afgekeurd moeten worden of het ontwerp moeten worden aangepast.

Echter, als de kans op scenario 2 maar voldoende klein is, is dat toch niet nodig. Om dat te illustreren moeten we van stabiliteitsfactoren en schadefactoren overstappen naar faalkansen. In Schadefactor voor afschuiven langs diep glijvlak is een globale relatie tussen stabiliteitsfactoren en (reken)faalkansen gegeven. Passen we die toe, dan vinden we:

1. Voor de toelaatbare faalkans (overeenkomend met de eis aan de schadefactor: γ_n;eis Vereiste schadefactor [-] = 1,15): P_f;toel Toelaatbare faalkans [1/jaar] = 4,0 10^-7.

2. Voor de faalkans als scenario 1 werkelijkheid zou zijn: P_f;s1 Faalkans voor de doorsnede voor scenario 1 [1/jaar] = 7,09 10^-8.

3. Voor de faalkans als scenario 2 werkelijkheid zou zijn: P_f;s2 Faalkans voor de doorsnede voor scenario 2 [1/jaar] = 3,22 10^-5.

Gaan we nu uit van de scenariokansen P_s1 Kans dat scenario 1 optreedt [-] = 0,9 en P_s2 Kans dat scenario 2 optreedt [-] = 0,10, dan is de faalkans van de dijk:

P_f Faalkans [1/jaar] = P_f;s1 Faalkans voor de doorsnede voor scenario 1 [1/jaar] P_s1 Kans dat scenario 1 optreedt [-] + P_f;s2 Faalkans voor de doorsnede voor scenario 2 [1/jaar] P_s2 Kans dat scenario 2 optreedt [-]
= 7,09 10^-8 x 0,9 + 3,22 10^-5 x 0,1 ≈ 3,3 10^-6

(Formule voor het berekenen van de totale faalkans uit de hieronder genoemde parameters)

Waarin:

P_f;s1 Faalkans voor de doorsnede voor scenario 1 [1/jaar] Faalkans voor de doorsnede voor scenario 1 [per jaar].

P_f;s2 Faalkans voor de doorsnede voor scenario 2 [1/jaar] Faalkans voor de doorsnede per scenario 2 [per jaar].

P_s1 Kans dat scenario 1 optreedt [-] Kans op scenario 1 [-].

P_s2 Kans dat scenario 2 optreedt [-] Kans op scenario 2 [-].

Deze faalkans is ca. 8 keer groter dan de toelaatbare faalkans. Dus de dijk voldoet niet aan de veiligheidseis. Dat betekent dat de keuze voor scenario 1 als uitgangspunt voor de veiligheidsanalyse in dit geval een verkeerde keuze is, omdat die keuze leidt tot goedkeuren van een onvoldoende veilige dijk.

Maar het wordt anders wanneer de kans op scenario 2 veel kleiner is. Stel dat deze niet 0,10 is maar tien keer zo klein, dus 0,01. Terzijde merken we op dat deze kleinere kans gebaseerd zou kunnen zijn op additioneel grondonderzoek. De faalkans is dan:

P_f Faalkans [1/jaar] = 7,09 10^-8 x 0,99 + 3,22 10^-5 x 0,01 ≈ 3,9 10^-7

en deze kans is een fractie kleiner dan de toelaatbare faalkans. In dat geval is de dijk (of het ontwerp) wel voldoende veilig en leidt de keuze van scenario 1 als uitgangspunt voor de stabiliteitsanalyse, met een stabiliteitsfactor van 1,20, niet tot de verkeerde conclusie. Dat komt omdat de kans op scenario 2 zoveel kleiner is, maar ook omdat de stabiliteitsfactor, als we uitgaan van scenario 1, groter is dan de vereiste schadefactor (1,20 versus 1,15).

De crux van de schematiseringfactor kan als volgt uitgelegd worden. Wanneer we een scenario voor de schematisering van ondergrondopbouw en waterspanningen als uitgangspunt voor de stabiliteitsberekening kiezen, moeten we er toch op een of andere manier rekening mee houden dat de werkelijkheid ongunstiger kan zijn (hoewel de kans daarop klein of zeer klein kan zijn). Dit kan door een extra veiligheidsfactor, de schematiseringfactor γ_b Partiële veiligheidsfactor die verband houdt met het schematiseren van de ondergrond (schematiseringfactor) [-] toe te passen. De eis aan de berekende stabiliteitsfactor bij de gekozen schematisering wordt dan dat deze tenminste gelijk moet zijn aan het product van vereiste schadefactor en schematiseringfactor.

De grootte van de schematiseringfactor is afhankelijk van de grootte van de kansen op de ongunstiger scenario’s dan de gekozen basisschematisering en de mate waarin stabiliteitsfactoren bij die scenario’s kleiner zijn dan de vereiste schadefactor. Kijken we naar het rekenvoorbeeld, dan zien we dat scenario 2, met een kans van 0,01 en een stabiliteitsfactor die 0,14 kleiner is dan de schadefactor, net gecompenseerd wordt, doordat de stabiliteitsfactor F_d;s1 Berekende stabiliteitsfactor voor scenario 1, berekend met rekenwaarden voor de schuifsterkte [-] = 1,20 groter is dan de vereiste waarde van de schadefactor 1,15. In dit geval is dus de benodigde schematiseringfactor γ_b Partiële veiligheidsfactor die verband houdt met het schematiseren van de ondergrond (schematiseringfactor) [-] ≈ 1,20/1,15 = 1,043.

NB in de afbeelding die is opgenomen in het artikel Rekenblok schematiseringfactor voor afschuiven diep glijvlak is uitgegaan van de (niet afgeronde) waarden behorende bij de in dit artikel gegeven voorbeeld.