Zoeken in deze site

Inhoudsopgave


Schematiseringfactor voor afschuiven

Bij het bepalen van de veiligheid van waterkeringen dient rekening te worden gehouden met variaties en onzekerheden in de opbouw van de ondergrond en het dijklichaam en met de hieraan gerelateerde variaties en onzekerheden in de geohydrologische situatie in het invloedsgebied van de waterkering. Het gaat hierbij o.a. om onzekerheden als gevolg van grondlagen die lokaal aanwezig of afwezig kunnen zijn of die lokaal duidelijk dikker zijn dan elders. Dit kan grote invloed hebben op de sterkte van een waterkering. Variaties in de opbouw van het dijklichaam en de ondergrond kunnen groter zijn dan uit grondmechanisch onderzoek volgt. Dit is afhankelijk van de aanwezige heterogeniteit in de dijk en de ondergrond en van de intensiteit van het beschikbare onderzoek. In een semi-probabilistische berekening is de schematiseringfactor de partiële veiligheidsfactor die de onzekerheden die hiervan het gevolg zijn, in rekening brengt. Die schematiseringfactor hangt samen met onder andere het uitgevoerde grondonderzoek, de complexiteit van de ondergrond ter plaatse en de effecten van variaties in de schematisering op de stabiliteit. Dit is de gangbare praktijk bij het ontwerpen van waterkeringen. Het is ook mogelijk om de onzekerheden in rekening te brengen door het toepassen van scenario’s. Dit laatste is de gebruikelijke aanpak bij het beoordelen van waterkeringen, zie het artikel Modellering van onzekerheden.

Schematiseringtheorie en schematiseringfactor

Een opmerking vooraf. Waar in dit artikel sprake is van (onzekerheid over) de ondergrondopbouw wordt tevens bedoeld (onzekerheid over) de opbouw van het dijklichaam. Het begrip waterspanningen heeft betrekking op zowel de ligging van het freatisch vlak (de grondwaterspiegel) in de dijk en de bovenste grondlagen, als op de grondwaterdrukken in de diepere grondlagen (hydrostatische, of over- of onderspanningen). De opbouw van het dijklichaam heeft grote invloed op de ligging van het freatisch vlak bij hoge buitenwaterstanden. Onzekerheid over de opbouw van het dijklichaam impliceert dan ook onzekerheid over de ligging van het freatisch vlak in de dijk.

Onzekerheden over de ondergrondopbouw en de waterspanningen worden zichtbaar gemaakt door aan te geven welke verschillende schematiseringen (scenario’s) mogelijk zijn op grond van de beschikbare kennis en informatie. De scenario’s kunnen variëren van gunstig tot ongunstig. De keuze van een gunstig scenario als basisschematisering (optimistische keuze, of `optimistisch scenario’) kan leiden tot overschatting van de werkelijke veiligheid van de dijk en is daardoor mogelijk een onveilige keuze. De keuze van een ongunstig scenario kan leiden tot onderschatting van de werkelijke veiligheid en is daardoor mogelijk een te veilige keuze. De gedachte is dat `de werkelijkheid’ door één van die scenario’s het beste wordt gerepresenteerd, alleen is niet bekend door welk. Wel zullen, op grond van kennis en beschikbare informatie, intuïtief of beredeneerd niet alle scenario’s even geloofwaardig zijn. De manier om dat tot uitdrukking te brengen is door aan alle scenario’s een kans toe te kennen. Met de kans op een scenario wordt tot uitdrukking gebracht hoe waarschijnlijk we het vinden dat de ‘werkelijkheid’ juist door dat scenario (het beste) wordt gerepresenteerd.

Doorgaans zal een geotechnisch ingenieur voor berekeningen van de veiligheid van een dijk uitgaan van een van de meest ongunstige scenario’s voor ondergrondopbouw en waterspanningen. Wanneer, bijvoorbeeld, de stabiliteitsfactor voor het binnentalud van een dijk (bestaand of alleen nog maar op papier ontworpen) bij deze keuze aan de vereiste minimale waarde voldoet, dan is de kans klein dat de dijk onterecht wordt goedgekeurd, of dat het ontwerp niet veilig genoeg is.

Bij het ontwerp van een dijkversterking, weegt dit zwaar. Maar, een zeer conservatief uitgangspunt voor de berekeningen kan ook tot een onderschatting van de veiligheid leiden. Dat leidt tot een onnodig duur ontwerp. Namelijk in het geval de kansen op die ongunstige scenario’s extreem klein zijn. De geotechnisch ingenieur moet bij de keuze van de basisschematisering, dus afwegingen maken.

Daarbij spelen de kansen op de verschillende scenario’s en de effecten ervan op de te berekenen veiligheidsfactor (zoals de stabiliteitsfactor) een grote rol. Die afwegingen gebeurden tot nu toe impliciet. Er zijn geen handreikingen of recepten voor en daardoor zijn ze ook erg onderhevig aan subjectiviteit.

Het artikel Voorbeeld schematiseringfactor voor afschuiven gaat in op een voorbeeld.

Afleiden van de schematiseringfactor

Hieronder volgt een wiskundige beschrijving die de lezer in staat moet stellen het algoritme voor het bepalen van de schematiseringfactor in een spreadsheet of ander computerprogramma te implementeren. Voor een uitgebreide beschrijving van de theorie wordt verwezen naar [Calle, 2010] of naar [Calle, et al., 2009]. We gaan er hier in eerste instantie van uit dat de analyse betrekking heeft op het mechanisme afschuiven langs een diep glijvlak van het binnentalud van een dijk.

De verschillende mogelijke schematiseringen van de ondergrondopbouw en de waterspanningen voor een veiligheidsanalyse noteren we als de verzameling scenario’s {i} (i=1…n). Een bestaande dijk of een ontwerp van een dijkversterking geven we symbolisch aan met D. De kansen dat de afzonderlijke scenario’s (het beste) de werkelijke ondergrondopbouw en waterspanningen onder en in dijk D in de ontwerpsituatie weergeven, geven we aan met Psi (i=1…n). We veronderstellen dat precies één van de scenario’s de werkelijke situatie weergeeft (de scenario’s sluiten elkaar dus onderling uit). De som van de kansen Psi (i=1…n) moet dus gelijk aan 1 zijn.

Uitgaande van elk van de scenario’s kunnen we, met behulp van hiervoor geschikte rekenmodellen, zoals de Bishop glijcirkelanalyse of de LiftVan analyse (bij opdrijven), een rij stabiliteitsfactoren van de dijk berekenen. Die rij noteren we als Fd;si (i=1…n). Dat zijn dus stabiliteitsfactoren uitgaande van scenario i, berekend met rekenwaarden voor de schuifsterkte.

De veiligheidseis is gegeven in termen van een eis aan de stabiliteitsfactor.

We kunnen de relatie tussen de stabiliteitsfactor en de faalkans gebruiken als relatie om bij een stabiliteitsfactor de overeenkomstige (reken)faalkans te bepalen. Voor de rij stabiliteitsfactoren gegeven de scenario’s voor de schematiseringen {Si}:

Vergelijking 1, formule voor de faalkans als functie van de stabiliteitsfactor.
Vergelijking 1, formule voor de faalkans als functie van de stabiliteitsfactor.

Waarin:

Fd;siStabiliteitsfactor, berekend met rekenwaarden voor de schuifsterkte, gegeven schematisatie i, voor i=1…n[-].

γd Modelfactor [-].

Φ Standaard normale verdeling (cumulatief) [-].

De totale faalkans is gelijk aan de som van de producten van de faalkansen bij elk van de mogelijke schematiseringen en de kansen dat die schematiseringen de werkelijkheid representeren. De eis (1) komt dus overeen met de volgende eis in termen van faalkansen, rekening houden met de onzekerheid over ondergrondopbouw en waterspanningen:

Vergelijking 2, waarmee wordt beoordeeld of de totale berekende faalkans kleiner of gelijk is aan de toelaatbare faalkans.
Vergelijking 2, waarmee wordt beoordeeld of de totale berekende faalkans kleiner of gelijk is aan de toelaatbare faalkans.

Waarin:

Pf;si Faalkans voor de doorsnede gegeven scenario i [1/jaar].

Psi Kans op scenario i [-].

Pf;toel Toelaatbare faalkans van de doorsnede [1/jaar].

n Totaal aantal scenario’s [-].

Veronderstel nu dat de nummering van de scenario’s zo gekozen is dat de bijbehorende rij stabiliteitsfactoren Fd;si voor i = 1, 2, …n een dalende (althans niet stijgende) rij is, dan is de bijbehorende rij faalkansen Pf;si een stijgende (althans niet dalende) rij. Door hernummering van de scenario’s is dat altijd mogelijk. De verschillende scenario’s i variëren dan in oplopende volgorde van i van optimistisch tot conservatief. Een van de scenario’s wordt gekozen als (althans in eerste instantie) basisschematisering; stel dat dit scenario ib is, waarbij ib groter dan 1 is en kleiner dan n. In de sommatie in vergelijking (2) zullen de grootste bijdragen aan de faalkans geleverd worden door de scenario’s met subscript i ≥ ib. We majoreren de eis (2) daarom als volgt (wat leidt tot een iets strengere eis):

Vergelijking 3, een variant op vergelijking 2, waarbij de bijdrage aan de totale berekende faalkans voor de optimistische scenario’s, waarvoor i kleiner is dan ib, wordt benaderd door het product van de faalkans op scenario ib maal de totale kans op scenario’s met een volgnummer ib of kleiner.
Vergelijking 3, een variant op vergelijking 2, waarbij de bijdrage aan de totale berekende faalkans voor de optimistische scenario’s, waarvoor i kleiner is dan ib, wordt benaderd door het product van de faalkans op scenario ib maal de totale kans op scenario’s met een volgnummer ib of kleiner.

Waarin:

i Teller [-].

ib Volgnummer van het scenario dat (in eerste instantie) is gekozen als basisscenario [-].

Pf;si Faalkans voor de doorsnede gegeven scenario i [1/jaar].

Pf;sb Faalkans voor de doorsnede gegeven het basisscenario ib [1/jaar].

Pf;toel Toelaatbare faalkans van de doorsnede [1/jaar].

Psi Kans op scenario i [-].

n Totaal aantal scenario’s [-].

Het voordeel hiervan is dat we verder geen omkijken meer hebben naar de scenario’s die optimistischer zijn dan de basisschematisering, maar alleen naar de scenario’s die, als ze werkelijkheid zijn, een ongunstig effect op de stabiliteit hebben. Deze scenario’s vormen immers het risico, waar we ons tegen willen indekken. Wanneer we stabiliteitseis (1) aanhouden voor de gekozen basisschematisering, dan staat niet op voorhand vast dat ook wordt voldaan aan de eis (2).

Sterker, de kans daarop is dan groot. Immers de faalkansen bij de scenario’s ib+1, ib+2 , …n zijn groter dan (of tenminste gelijk aan) de faalkans bij de basisschematisering (scenario ib). Echter, of al dan niet voldaan wordt aan de eis (2) hangt af van de scenariokansen.

Als we een constructie kunnen bedenken waardoor aan de eis (3) wordt voldaan, dan wordt zeker ook voldaan aan (2). Dit doen we door de ontwerpeis (1) bij de gekozen basisschematisering op te schroeven met een factor γb, de zogenaamde schematiseringfactor. Dat resulteert in de ontwerpeis:

Vergelijking 4 voor de ontwerpeis gesteld aan de stabiliteitsfactor voor het basisscenario ib.
Vergelijking 4 voor de ontwerpeis gesteld aan de stabiliteitsfactor voor het basisscenario ib.

Waarin:

Fd;sb Berekende stabiliteitsfactor voor scenario ib, berekend met rekenwaarden voor de schuifsterkte [-].

γb Schematiseringfactor [-].

γd Modelfactor [-].

γn Schadefactor voor het mechanisme afschuiven langs een diep glijvlak[-].

In vergelijking (4) moet γb> 1 zijn. Hoe groot γb Partiële veiligheidsfactor die verband houdt met het schematiseren van de ondergrond (schematiseringfactor) [-] precies moet zijn om de mogelijke scenario’s ib+1… n voor de ondergrondopbouw en waterspanningen af te dekken kunnen we al proberend uitzoeken; zie de beschrijving hieronder . Bij het ontwerpen van een dijk of dijkversterking beginnen we met een eerste keuze voor γb Partiële veiligheidsfactor die verband houdt met het schematiseren van de ondergrond (schematiseringfactor) [-]. Dit kan een willekeurige waarde zijn tussen 1,0 en 1,3. Op die grenzen komen we later even terug. Stel nu dat het ontwerp van de dijk D net voldoet aan (4). Dan zijn ook de stabiliteitsfactoren Fd;sb+1 … Fd;sn te berekenen en met behulp van de relatie (1) de conditionele faalkansen Pf;sb, Pf;sb+1 … Pf;sn. Hiermee en met de scenariokansen Psb+1 …Psn hebben we alle ingrediënten om de eis (3) te checken.

Wordt niet aan deze eis voldaan, dan is de dijk dus niet voldoende veilig en moet er een hogere schematiseringfactor worden gekozen, of er moet worden uitgegaan een conservatiever basisschematisering, bijvoorbeeld gebaseerd op scenario ib+1 in plaats van op scenario ib. Dit levert een nieuw ontwerp op, met gewijzigde (hogere) waarden van de stabiliteitsfactoren Fd;sb+1… Fd;sn en kan de controle opnieuw worden uitgevoerd.

Wordt heel ruim aan de eis (3) voldaan, dan is het natuurlijk ook mogelijk om een lagere schematiseringfactor te kiezen (of een optimistischer basisschematisering, bijvoorbeeld op basis van scenario ib-1 in plaats van op basis van scenario ib. Ook dit geeft een nieuw ontwerp en gewijzigde (lagere) stabiliteitsfactoren, waarmee valt te controleren of nog steeds aan de eis (3) wordt voldaan.

Merk op dat de schematiseringfactor en de keuze van de basisschematisering ’uitwisselbaar’ zijn, bij een conservatiever basisschematisering hoort een lagere schematiseringfactor. Moet, volgens de bovenbeschreven controle een schematiseringfactor groter dan 1,30 worden gekozen, dan is het beter om een conservatiever basisschematisering te kiezen.

De methodiek voor het bepalen van de schematiseringfactor is geïmplementeerd in een Excel-applicatie: “rekenblok”. Het artikel Rekenblok schematiseringfactor voor afschuiven diep glijvlak gaat hierop nader in.

Literatuur

Calle, E.O.F. SBW TR Grondonderzoek : Activiteit 5: Achtergrondrapport TRGS. Deltares, rapport 1001411-009-GEO-002, maart 2010.

Calle, E.O.F., G.A.M. Kruse, M.T. van der Meer, W.R. Halter en B.M. Effing. Schematiseren geotechnische faalmechanismen bij dijken : SBW Faalmechanismen TR Grondonderzoek; Activiteit 2. Deltares, rapport 1001411-004-GEO-0001, juli 2009.

Stappenplan schematiseringsfactor. Arcadis, rapport 074497336:0.2, C03011.000049, februari 2010.

Versies