In een semi-probabilistische geotechnische analyse wordt uitgegaan van karakteristieke schattingen van de gemiddelde waarden van de grondeigenschappen binnen de grondlagen ter plaatse van de locatie waarvoor de analyse wordt uitgevoerd.

Een karakteristieke schatting is een schatting die door de werkelijk aanwezige waarde slechts met een kleine kans wordt onderschreden (bij sterkte-eigenschappen) of overschreden (bij belastingen).

In de Nederlandse voorschriften en richtlijnen wordt in het algemeen uitgegaan van een onder- of overschrijdingskans van 5%.

Achtergronden

De term ‘werkelijk aanwezige waarde van grondeigenschappen’ genoemd in de inleiding vergt enige toelichting. Bij het meten van de sterkte-eigenschappen van grond wordt de waarde bepaald die representatief is voor het volume van de grond dat bij de meting wordt aangesproken. Bij, bijvoorbeeld, een triaxiaalproef is dat een grondmonster van hooguit enige honderden cm³, bij in situ metingen, zoals sonderen gaat het om invloedsgebiedjes in de grond van hooguit enkele kubieke decimeters. In geotechnische analyses daarentegen gaat het om glijvlakken (bij evenwichtsanalyses) of aangesproken grondvolumes (bij vervormingsanalyses) met afmetingen in de orde van tientallen m³. De afmetingen van de aangesproken grond bij laboratorium- of in situ proeven zijn dus klein ten opzichte van de afmetingen van glijvlakken of aangesproken volumes bij vervormingsproblemen.

Let op, als het gaat om de meting van de doorlatendheid van grond is de schaal waarop de grond wordt aangesproken veel variabeler. Er zijn meettechnieken waaruit een lokale waarde van de doorlatendheid volgt en metingen die een doorlatendheid van een aquifer opleveren. In de eerste categorie horen thuis de laboratoriummetingen op monsters en de waterspanningssonderingen. De responsmetingen op een hydraulische belasting, bijvoorbeeld een hoogwater, leveren na interpretatie een veel grootschaliger doorlatendheid op.

De lokaal gemeten waarden van grondeigenschappen worden wel aangeduid als ‘puntwaarden’. Binnen glijvlakken enz. kunnen puntwaarden van de grondeigenschappen variëren. Voor de evenwichts- of vervormingsanalyses zijn de gemiddelden van de grondeigenschappen binnen de aangesproken glijvlakken of grondvolumes van belang. Met de ‘werkelijke aanwezige waarde’ in bovenstaande alinea wordt bedoeld het aanwezige gemiddelde van de grondeigenschap binnen het aangesproken glijvlak of volume. Variaties in puntwaarden worden daarbij min of meer uitgemiddeld.

Deze gedachte heeft geleid tot het gebruik in de (Nederlandse) geotechniek om bij het vaststellen van de grondeigenschappen aan de hand van laboratorium- of in situ proeven te werken met karakteristieke schattingen van het gemiddelde van de proevenserie (binnen een grondlaag). In feite zijn dat karakteristieke schattingen van het gemiddelde van de grondlaag binnen het onderzoeksgebied (dit is het geografische gebied waaruit de grondmonsters worden getrokken of waarin de in situ metingen plaatsvinden). Bedacht moet worden in hoeverre gemiddelden binnen zo’n onderzoeksgebied representatief zijn voor een glijvlak of aangesproken volume bij een vervormingsprobleem. Zolang het onderzoeksgebied min of meer overeenkomt met het gebied waarin het glijvlak of dat aangesproken grondvolume is gesitueerd, is dit aannemelijk. In dat geval kan van lokaal grondonderzoek worden gesproken. Wanneer het onderzoeksgebied veel groter is, zoals bijvoorbeeld bij regionale proevenverzamelingen het geval is, moet er rekening mee worden gehouden dat de gemiddelden over glijvlakken of aangesproken grondvolumes binnen het onderzoeksgebied aanzienlijk kunnen afwijken van het overall gemiddelde van het hele onderzoeksgebied. Het gemiddelde van de proevenverzameling is dan niet representatief voor het gemiddelde langs een glijvlak. Bij het vaststellen van karakteristieke waarden ten behoeve van geotechnische analyses aan de hand van regionale proevenverzamelingen moet rekening worden gehouden met de spreiding van gemiddelden langs een glijvlak binnen het onderzoeksgebied.

Het recept wijkt daardoor af van het recept voor het bepalen van karakteristieke waarden uit lokaal grondonderzoek [van Esch, 1997].

In de Nederlandse normen wordt, conform de Eurocodes, een semi-probabilistische opzet van de rekenkundige analyses voorgestaan. De karakteristieke waarden voor belastingen worden vermenigvuldigd met partiële veiligheidsfactoren, de belastingfactoren, en de karakteristieke waarden voor sterkte-eigenschappen worden gedeeld door partiële veiligheidsfactoren (de materiaalfactoren). Daarmee vinden we de ontwerp- of rekenwaarden, die in de analyse worden ingevoerd.

Karakteristieke waarden voor schuifsterkteparameters

Deze paragraaf spitst zich toe op de schuifsterkteparameter s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²]. Echter, in beginsel is de methodiek ook toepasbaar op andere grondmechanische parameters. De spreiding in resultaten van proeven op een serie grondmonsters wordt in het algemeen toegeschreven aan ruimtelijke variabiliteit van grondeigenschappen (binnen een en dezelfde grondlaag). Hoewel niet uitgesloten moet worden dat niet-reproduceerbaarheid van grondmechanische proeven ook voor een deel oorzaak is van spreiding in proefresultaten, wordt er in het navolgende van uit gegaan dat de bijdrage door ruimtelijke variabiliteit dominant is.

Voor een goed begrip van de methodiek is inzicht in het onderliggende (generieke) conceptuele model voor ruimtelijke spreiding gewenst; dit model wordt dan ook als eerste behandeld. Vervolgens wordt ingegaan op hoe uitmiddelen van die ruimtelijke spreiding nodig is om te komen tot representatieve waarden voor een glijvlak. Aparte artikelen behandelen het berekenen van de karakteristieke schattingen uitgaande van lokaal grondonderzoek en uitgaande van een regionale proevenverzameling.

Conceptueel stochastisch model voor ruimtelijke spreiding

Het model wordt beschreven voor één schuifsterkteparameter, bijvoorbeeld de ongedraineerde schuifsterkte, s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²]binnen een grondlaag. Aangenomen is dat binnen de betreffende grondlaag geen sprake is van een aanwijsbare of verklaarbare trend, zoals bijvoorbeeld toename met de diepte. Hoewel gemiddeld genomen de waarde van s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²]overal ongeveer hetzelfde is, zal er, door ruimtelijke variatie binnen de laag, op verschillende plaatsen een verschillende waarde worden gemeten. Aangenomen wordt dat s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²]continu van plaats tot plaats binnen de laag op onvoorspelbare wijze rond de overall gemiddelde waarde fluctueert, maar dat het karakter van de fluctuaties (dat wil zeggen grootte van de afwijking ten opzichte van het overall gemiddelde en de ‘snelheid’ van fluctuaties) overal binnen de laag ongeveer hetzelfde is.

Het variatiepatroon van s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²] wordt dan gemodelleerd als een stationair stochastisch veld. Dat wil zeggen dat de feitelijke waarde in elk punt binnen de laag als een stochast wordt opgevat, en dat dus de gerealiseerde waarde in een willekeurig punt getrokken lijkt uit een kansverdelingsfunctie. Basiskenmerken van de kansverdelingsfunctie zijn het kansverdelingstype, waarvoor in dit verband de normale verdeling wordt genomen, de verwachtingswaarde μ_su (die het ‘overall gemiddelde’ representeert) en de standaardafwijking σ_su (die de grootte van de fluctuaties ten opzichte van het gemiddelde reflecteert). Stationariteit wil zeggen dat wanneer twee willekeurige posities, x Eerste horizontale coördinaat [m]₁en x Eerste horizontale coördinaat [m]₂, binnen de laag worden beschouwd, geldt dat de verwachtingswaarden van s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²](x Eerste horizontale coördinaat [m]₁) en s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²](x Eerste horizontale coördinaat [m]₂) gelijk zijn (E[s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²](x Eerste horizontale coördinaat [m]₁)] = E[s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²](x Eerste horizontale coördinaat [m]₂)] = m_su), dat de standaardafwijkingen gelijk zijn (σ(s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²](x Eerste horizontale coördinaat [m]₁)) = σ(s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²](x Eerste horizontale coördinaat [m]₂)) = σ_su) en dat de correlatie tussen s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²](x Eerste horizontale coördinaat [m]₁) en s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²](x Eerste horizontale coördinaat [m]₂) uitsluitend een functie is van de afstandscomponenten (horizontaal, verticaal) tussen de twee punten. In het algemeen geldt dat bij kleine afstand de correlatie bijna gelijk 1,0 is, er is dan continuïteit van het variatiepatroon, en dat met het toenemen van de afstandscomponenten de correlatie afneemt tot nul. De functie die de afname van de correlatie als functie van de afstandscomponenten weergeeft, wordt de autocorrelatiefunctie genoemd. De literatuur geeft verschillende vormen van autocorrelatiefuncties aan. Het type dat ten grondslag ligt aan de beschouwingen in dit artikel luidt:

Waarin:

ρ Correlatie [-] de correlatie tussen twee punten als functie van δ_z Horizontale afstand tussen twee punten [m] en δ_y Verticale afstand tussen twee punten [m] [-].

δ_z Horizontale afstand tussen twee punten [m] de horizontale afstand tussen de twee punten [m].

δ_y Verticale afstand tussen twee punten [m] de verticale afstand tussen de twee punten [m].

D_z Horizontale correlatieschaal [m] de horizontale correlatieschaal of correlatielengte [m].

D_y Verticale correlatieschaal [m] de verticale correlatieschaal of correlatielengte [m].

α Hoek [rad] de verhouding van de variantie binnen een enkele verticaal en de variantie van alle metingen ten opzichte van het gemiddelde over het gehele meetgebied [-].

Hoe kleiner de correlatieschaal, des te sneller neemt de correlatie af. Dit manifesteert zich als snellere fluctuaties van het variatiepatroon, zie figuur 1.

In de figuur 1 zijn vier grafieken getekend. De bovenste drie geven een (denkbeeldig) verloop van de schuifsterkte als functie van de diepte y Tweede horizontale coördinaat [m]weer, op een drietal locaties langs een raai in het terrein (bijvoorbeeld de kruinlijn van een dijk of weglichaam). De locaties worden aangegeven met de (horizontale) lijncoördinaten z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]= z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]₁, z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]= z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]₂ en z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]= z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]₃. De gemiddelden van s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²]langs de drie verticalen kunnen verschillend zijn. In de onderste grafiek is het (denkbeeldige) verloop geschetst van het gemiddelde van s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²]langs de verticalen, als functie van de locatiecoördinaat z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]. De gemiddelden ter plaatse van z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]= z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]₁, z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]= z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]₂ en z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]= z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]₃ zijn hierin omcirkeld aangegeven.

Hiermee is een denkbaar variatiepatroon voor ongedraineerde schuifsterkte in een slappe kleilaag weergegeven; met snelle fluctuaties in verticale richting en betrekkelijk langzame fluctuaties in horizontale richting. Het conceptuele model is als volgt. Wanneer langs een bepaalde verticaal de schuifsterkte wordt gemeten, zal spreiding in de ‘puntwaarden’ ten opzichte van het gemiddelde over de verticaal geconstateerd worden. Wordt een andere verticaal gekozen dan wordt, afgezien van statistische steekproefeffecten, eenzelfde spreiding rond het gemiddelde van die verticaal gevonden. Worden alle puntmetingen langs een groot aantal verticalen samengevoegd, dan is de spreiding ten opzichte van het gemiddelde van alle waarnemingen groter dan de spreiding in een enkele verticaal. De parameter α Hoek [rad] is de verhouding van de variantie van de spreiding binnen een enkele verticaal en de variantie van de spreiding van alle metingen ten opzichte van het gemiddelde over het gehele meetgebied. Met andere woorden, naast de spreiding binnen een enkele verticaal is er ook spreiding van de gemiddelden over een verticaal. Populair gezegd, er zijn verticalen die gemiddeld genomen sterker zijn dan het gemiddelde van de hele grondlaag en er zijn verticalen die zwakker zijn dan het gemiddelde van de hele grondlaag. Indien α Hoek [rad] = 1, dan is er, afgezien van statistische steekproefeffecten geen verschil tussen de verticalen en zou de spreiding langs een verticaal even groot zijn als de spreiding in de gehele grondlaag. Die veronderstelling is alleen aannemelijk wanneer het totale meetgebied, dus het gebied waarin langs verticalen de schuifsterkte is gemeten niet al te groot is. Bij regionale proevenverzamelingen is het meetgebied vaak vele kilometers groot, de veronderstelling dat in zo’n meetgebied niet stelselmatig relatief sterke en zwakke plekken aanwezig zijn, is dan minder aannemelijk.

Algemeen wordt aangenomen dat in natuurlijk afgezette grondlagen in verticale richting y Tweede horizontale coördinaat [m] veel snellere fluctuaties optreden dan in horizontale richting z Verticale coördinaat, plaatshoogte [m]. Fluctuaties in verticale richting representeren variaties van afzettingscondities in de tijd. Wordt de parameter α Hoek [rad] gelijk aan 1,0 gekozen, dan verandert de autocorrelatiefunctie in een enkelvoudige e-macht die veelal in de literatuur wordt toegepast:

Waarin:

ρ Correlatie [-] de correlatie tussen twee punten als functie van δ_z Horizontale afstand tussen twee punten [m] en δ_y Verticale afstand tussen twee punten [m] [-].

δ_z Horizontale afstand tussen twee punten [m] de horizontale afstand tussen de twee punten [m].

δ_y Verticale afstand tussen twee punten [m] de verticale afstand tussen de twee punten [m].

D_z Horizontale correlatieschaal [m] de horizontale correlatieschaal of correlatielengte [m].

D_y Verticale correlatieschaal [m] de verticale correlatieschaal of correlatielengte [m].

Uitmiddeling van spreiding over glijvlak

De in geotechnische analyses benodigde parameters zijn in het algemeen representatieve schattingen voor gemiddelden van grondeigenschappen over een glijvlak of een ander aangesproken volume. Vanwege de spreiding van puntwaarden en het feit dat steekproeven om parameters voor geotechnische analyses te schatten per definitie eindig zijn, zijn ook de schattingen voor gemiddelden over een glijvlak onzekere grootheden. Met andere woorden, het gemiddelde van een grondeigenschap over een glijvlak is ook een stochast. De spreiding van die stochast is echter kleiner dan de spreiding van puntwaarden van de grondeigenschap, omdat uitmiddeling plaatsvindt. Voor bijvoorbeeld de ongedraineerde schuifsterkte geeft dit de volgende formule:

Waarin:

σ ²(s_u Ongedraineerde schuifsterkte [kN/m²],G) Variantie van de gemiddelde schuifsterkte over een glijvlak G [kN/m²]².

Puntvariantie van de schuifsterkte [kN/m²]².

Γ ²(G) Variantiereductiefactor voor het glijvlak G [-].

In de uitmiddeling spelen twee bijdragen een rol, namelijk uitmiddeling in verticale richting en uitmiddeling in horizontale richting. Omdat glijvlakafmetingen in verticale richting (5 tot 10 meter) groot zijn ten opzichte van de verticale correlatieschaal, D_y Verticale correlatieschaal [m], die in de orde van enkele decimeters ligt, is de uitmiddeling in verticale richting groot. Afmetingen van een glijvlak in horizontale richting zijn in het algemeen niet groot ten opzichte van de horizontale correlatieschaal, D_z Horizontale correlatieschaal [m], die in de orde van 50 tot 100 meter of meer ligt. Derhalve is uitmiddeling in horizontale richting beperkt. Een indicatie van de mate van uitmiddeling, dus de grootte van de variantiereductiefactor wordt verkregen door een ‘(rechthoekig) verticaal glijvlak’ te beschouwen met afmetingen H_G Hoogte van het glijvlak G [m] in verticale richting en B_G Horizontale afmeting van het glijvlak G [m] in horizontale richting.

In de twee onderstaande figuren is het verloop van de variantiereductiefactoren voor de horizontale en de verticale richting weergegeven. Een praktische indicatierange voor B_G Horizontale afmeting van het glijvlak G [m]/D_z Horizontale correlatieschaal [m]is 0,5 tot 1,5; uit de eerste, figuur 2, blijkt dat de variantiereductie door uitmiddeling in horizontale richting daarbij betrekkelijk beperkt is.

Uit figuur 3 blijkt dat bij de normaliter grote verhoudingen tussen glijvlakafmeting in verticale richting (minimaal enkele meters) en de verticale correlatieschaal (aanname vooralsnog: enkele decimeters) de variantiereductiefactor al gauw in de buurt van de limietwaarde, namelijk (1-α Hoek [rad]) komt. Dit betekent dat binnen een glijvlak verticale fluctuaties van de schuifsterkte grotendeels worden uitgemiddeld. Ruwweg gezegd impliceert dit dat een schatting van de gemiddelde waarde van de schuifsterkte in de grondlaag ter plaatse van het glijvlak een goede indicatie is voor de gemiddelde schuifsterkte binnen het glijvlak.

Hiermee is een onderbouwing gevonden voor het in de inleiding genoemde gebruik binnen de Nederlandse geotechniek om voor geotechnische analyses uit te gaan van karakteristieke schattingen voor laaggemiddelden. In beginsel gaat het daarbij om laaggemiddelden ter plaatse van de specifieke (glijvlak)locatie waarvoor de geotechnische analyse wordt uitgevoerd. Van glijvlaklocatie tot glijvlaklocatie kan de gemiddelde schuifsterkte van de grondlaag variëren. De variantie van deze spreiding is, bij benadering, gelijk aan (1 - α Hoek [rad]) keer de puntvariantie σ ²_su. Met andere woorden, de variantiereductiefactor Γ ²(G) is ruwweg gelijk aan (1 - α Hoek [rad]).