Omdat glijvlakberekeningen de stabiliteit bepalen van een voorgeschreven glijvlak dat vrijwel zeker afwijkt van het glijvlak dat de laagste stabiliteit kent, zijn er glijvlak zoekroutines ontwikkeld. De betreffende zoekroutines bepalen voor welke glijvlakken de stabiliteit moet worden berekend. Het glijvlak met de laagste stabiliteitsfactor is uiteindelijk het meest kritische glijvlak.

Er zijn verschillende glijvlak-zoekroutines beschikbaar. Voor elk glijvlak-rekenmodel is er een routine die de voorkeur verdient. In D-Stability is bij iedere evenwichtsbeschouwing het best geschikte zoekalgoritme ingebouwd.

Dit artikel behandelt de volgende routines:

• De rekengrid-methode (brute force).

• Differential Evolution Accelerated Particle Swarm Optimization (Bee Swarm).

• Genetisch algoritme.

De rekengrid-methode

De rekengrid-methode, in D-Stability aangeduid als brute force methode, gaat voor het zoeken van het meest kritische glijvlak uit van een vooraf gekozen set glijvlakken waarvoor stuk voor stuk de stabiliteitsfactor wordt berekend. De glijvlakken worden gekarakteriseerd door een set parameters die ieder stapsgewijs worden doorlopen van een minimum waarde tot een maximum waarde.

Voor het rekenmodel Bishop is het glijvlak cirkelvormig. De volgende drie parameters karakteriseren normaliter dat glijvlak:

1. De horizontale coördinaat van het rotatiecentrum van het glijcirkel.
2. De verticale coördinaat van het rotatiecentrum van het glijcirkel.
3. De straal van de glijcirkel of de tangentlijn behorende bij het middelpunt.

Na het evalueren van alle (toegestane) glijcirkels, is de glijcirkel met de laagste gevonden stabiliteitsfactor de meest kritische glijcirkel.

Een nuttige optie bij dit zoekalgoritme kan de volgende zijn: als de laagst gevonden stabiliteitsfactor hoort bij een glijvlak dat hoort bij een grens van het zoekbereik, kan dat zoekbereik telkens met een extra stap worden uitgebreid totdat het meest kritische glijvlak niet meer op één van de grenzen van het zoekbereik is gebaseerd.

Deze optie is uiteraard alleen handig als het zoekbereik niet bewust is ingeperkt om glijvlakken uit te sluiten die uiteindelijk niet tot falen van de kering leiden, zie het artikel Kritsch glijvlak en vervolgmechanismen bij afschuiven langs een diep glijvlak.

Dit algoritme is bruikbaar als het aantal vrijheidsgraden dat in gebruik is om de potentiële glijvlakken te beschrijven, beperkt is. Voor de methode Bishop, met drie vrijheidsgraden, is dit het meest voor de hand liggende zoekalgoritme. Als wordt uitgegaan dat er voor iedere vrijheidsgraad 10 berekeningen moeten worden gemaakt, is voor een Bishop-analyse het berekenen van een stabiliteitsfactor voor 10x10x10 = 1000 opgelegde glijcirkels noodzakelijk. Voor het rekenmodel LiftVan, die vijf vrijheidsgraden kent, is het aantal berekeningen dan niet orde 1.000, maar orde 100.000

Daarom is voor een LiftVan-analyse de hierna behandelde zoekroutine qua rekentijd te verkiezen.

Differential Evolution Accelerated Particle Swarm Optimization

Voor de methode LiftVan zijn de vrijheidsgraden gekarakteriseerd met de volgende vijf parameters:

1. De horizontale coördinaat van het rotatiecentrum van de afschuiving in de actieve zone.
2. De verticale coördinaat van het rotatiecentrum van de afschuiving in de actieve zone.
3. Het niveau van het horizontale deel van het glijvlak in de passieve zone.
4. De horizontale coördinaat van het rotatiecentrum van de afschuiving in de passieve zone.
5. De verticale coördinaat van het rotatiecentrum van de afschuiving in de passieve zone.

Er zijn nog andere geometrieparameters die het glijvlak beschrijven, maar die zijn afhankelijk van de bovengenoemde:

• De straal van de glijcirkel in de actieve zone: verschil tussen de verticale coördinaat van het rotatiecentrum van de afschuiving in de actieve zone en het niveau van het horizontale deel van het glijvlak.
• De lengte van het horizontale deel van het glijvlak in de passieve zone: het verschil tussen de horizontale coördinaten van het passieve en het actieve rotatiecentrum.
• De straal van de glijcirkel in de passieve zone: verschil tussen de verticale coördinaat van het rotatiecentrum van de afschuiving in de passieve zone en het niveau van het horizontale deel van het glijvlak.

Dit maakt berekenen van alle denkbare combinatie een zeer tijdrovende klus, terwijl stapsgewijs naar een minimale stabiliteitsfactor zoeken de kans oplevert dat er slechts een lokaal minimum wordt gevonden. Die kans is voor de methode LiftVan niet denkbeeldig omdat evaluatie van verschillende berekeningen sets heeft geleerd dat lokale minima met steile gradiënten rond die minima gebruikelijk zijn voor de gevonden stabiliteitsfactor als functie van de beschrijvende parameters.

Dat maakt dat voor de methode LiftVan een op het Differential Evolution Accelerated Particle Swarm Optimization (DPSO) algoritme gebaseerd zoekproces is ontwikkeld. Daarbij wordt steeds een flinke set situaties (Swarm) doorgerekend, dat verkleint de kans om het meest kritische glijvlak te missen. Op grond van de uitkomsten wordt de set situaties bijgesteld (een nieuwe generatie met een bepaalde mate van mutatie) en opnieuw doorgerekend. Evaluatie van deze zoekroutine aan de hand van een tiental dwarsprofielen waar het opdrijfmechanisme een rol speelde, heeft een set standaard stuurparameters opgeleverd. Zo wordt als geoptimaliseerde set omvang 75 stuks en als aantal iteraties (=generaties) 24 aanbevolen. Uit een vergelijking van dit algoritme met andere algoritmen bleek het DPSO-algoritme een nauwkeuriger en stabielere uitkomst op te leveren [Van der Meij, 2019].

Genetisch algoritme

Het genetisch algoritme is gebaseerd op de theorie van Darwin, te weten de Survival of the fittest, oftewel het overleven van de best aan de omgeving aangepaste. Het schema in Figuur 1 toont de stappen die het algoritme doorloopt om tot een optimale oplossing te komen.

Een glijvlak, een individu, bevat DNA ter codering van zijn eigenschappen. Voor een Bishop glijcirkel is een lijst met drie eigenschappen voldoende, te weten de x Eerste horizontale coördinaat [m]- en y Tweede horizontale coördinaat [m]-coördinaat van het middelpunt van de cirkel, en de straal R_g Straal van het cirkelvormig glijvlak [m] van de cirkel. Kinderen worden gecreëerd door willekeurig de x Eerste horizontale coördinaat [m]-, y Tweede horizontale coördinaat [m]- en R_g Straal van het cirkelvormig glijvlak [m]-waarde van de ouders met elkaar te combineren. Het bepalen van de mate van aanpassing (fit) gebeurt door de stabiliteitsfactor uit te rekenen. Individuen met de hoogste stabiliteitsfactoren vallen af.

Het individu bij de methode Spencer [van der Meij 2010] bestaat uit een lijst die een lengte heeft gelijk aan het aantal punten langs het glijvlak. Deze lijst bevat waardes tussen de 0 en 1 die aangeven hoe ver het glijvlakpunt bij de ondergrens van het zoekgebied (zie ook Figuur 2 in het artikel Methode Spencer) verwijderd is. Bij een waarde nul ligt het punt van het glijvlak op de ondergrens, bij 0,5 ligt het punt halverwege en bij een waarde 1 ligt het punt op de bovengrens van het zoekgebied. Kinderen worden gecreëerd aan de hand van een “single point-” of “double point cross-over”. Bij een single point cross-over is het begin van één glijvlak (de vader) afkomstig en het einde van een ander glijvlak (de moeder). Double point cross-over is het begin en eind afkomstig van een glijvlak en met het midden van een ander glijvlak. Figuur 2 geeft een dubbel point cross-over grafisch weer. Deze stuurparameters zijn ingesteld in D-Stability (naar [Pasik, 2017]) en niet toegankelijk voor een gebruiker.

Mutaties kunnen worden geïntroduceerd door in een willekeurige punt een sprong naar een willekeurig andere waarde te hanteren, dan wel een geringe verandering (creep) aan te nemen.

Het “vechten” vindt plaats aan de hand van de glijvlakberekening. Het glijvlak met de hoogste veiligheidsfactor is het “zwakst”. Dit glijvlak wijkt namelijk het verste af van het gezochte kritische glijvlak. De zwakste individuen worden uit de populatie verwijderd.

Nadat het sterkste individu gevonden is, doet D-Stability nog een extra optimalisatie stap. Met de gradiënt gebaseerde optimalisatiemethode Levenberg-Marquardt [Marquardt, 1963] wordt het “sterkste” individu verder geoptimaliseerd. Dit betekent in de praktijk dat het gevonden glijvlak glad getrokken wordt, wat resulteert in een betere vorm en een nog iets lagere veiligheidsfactor.

In de software D-Stability is er voor elk van de drie glijvlakmethoden, Bishop, LiftVan en Spencer, een standaard set stuurparameters voorhanden. Die standaard set levert normaliter een snelle en accurate convergentie bij een niet al te groot zoekgebied. Voor iedere methode kan de gebruiker zelf meer grondig zoeken indien de gebruiker verwacht dat de precisie onvoldoende is.