Model voor stroming onder dijk, de respons op een sinusvormige hoogwatergolf (Model 4D)

Inleiding

Dit artikel behandelt de berekening van de potentiaal in de watervoerende zandlaag en deklaag ten gevolge van een sinusvormige hoogwatergolf op de rivier (Model 4D). Voor de andere modellen zie Modellen van het stijghoogteverloop in een zandlaag onder een ondoorlatende dijk. De waarde van de potentiaal in de aquifer is uiteraard afhankelijk van het al dan niet aanwezig zijn van een relatief ondoorlatende deklaag in het voorland.

Situatie zonder ondoorlatende deklaag in het voorland

De potentiaal in een tweelagensysteem, bestaande uit een zandpakket afgedekt door een consoliderende klei/veenlaag, wordt benaderd voor het profiel van figuur 1. De buitenwaterstand en de respons worden gegeven ten opzichte van de gemiddelde waterstand, respectievelijk grondwaterpotentiaal.

In figuur 1 geldt als randvoorwaarde op de rivier:

ϕ Stijghoogte [m+NAP](0, t Tijd [s]) = H₀ Amplitude (getij-)golf [m] cos (ω Hoekfrequentie van golf [rad/s].t Tijd [s]) (1)

(Vergelijking voor de potentiaal in de rivier als functie van de golfhoogte en de hoekfrequentie van de hoogwatergolf.)

Waarin:

ϕ(0, t) Potentiaal rivier op x = 0 en tijd t [m].

H₀ Amplitude van de (getij- of afvoer)golf [m].

ω Hoekfrequentie van de (getij- of afvoer)golf = 2π/T_HW Periode van de hoogwatergolf (getij- of afvoergolf) [s] [rad/s].

T_HW Periode van de hoogwatergolf (getij- of afvoergolf) [s].

t Tijd [s].

De potentiaal in het zand wordt benaderd voor het geval dat het zand zich relatief stijf gedraagt (geen elastische berging).

De volgende formule beschrijft de potentiaal in het zand, zie o.a. [Bauduin, 1988]:

Waarin:

ϕ(x, t) Potentiaal in zand op locatie x en tijd t [m].

x Afstand tot de rivier [m].

t Tijd [s].

H₀ Amplitude (getij- of afvoer)golf [m].

λ'_ω Instationaire leklengte achterland [m].

ω Hoekfrequentie van de golf = 2π/T_HW Periode van de hoogwatergolf (getij- of afvoergolf) [s] [rad/s].

T_HW Periode van de hoogwatergolf (getij- of afvoergolf) [s].

De exponentterm levert de amplitudevermindering op locatie x Eerste horizontale coördinaat [m]. De faseverschuiving in tijd wordt bepaald door de tweede term in de cosinus.

Voor de instationaire leklengte van het achterland wordt verwezen naar formule 4 in Lekfactor of leklengte.

De verandering van de potentiaal in de deklaag hierbij kan worden bepaald met de formule:

Waarin:

ϕ(x, y, t) Potentiaal op diepte z in de deklaag, gerekend vanaf het zand, op locatie x en tijd t [m].

x Afstand tot de rivier [m].

z Afstand in de kleilaag gemeten vanaf de onderliggende zandlaag [m].

t Tijd [s].

δ Maat voor de indringlengte van de cyclische respons in de deklaag = √(2c’_v Zwelcoëfficiënt (consolidatiecoëfficiënt bij ontlasten) [m²/s] /ω Hoekfrequentie van golf [rad/s]) [m].

λ'_ω Instationaire leklengte achterland [s].

c’_v Consolidatiecoëfficiënt kleipakket achterland [m²/s].

Op een diepte 3d zijn de potentiaalveranderingen nauwelijks merkbaar (orde 5%).

Situatie met (relatief) ondoorlatend voorland

Een veel voorkomend profiel is een dijk met een voorland, zie de schematisatie in figuur 2.

De toplaag in het voorland veroorzaakt een extra weerstand. Dit houdt een aanzienlijke demping van de potentiaalvariaties in de ondergrond in. Uit waarnemingen blijkt dat er echter nauwelijks vertraging in de tijd optreedt.

De uitwerking levert voor het watervoerend pakket (zand) in het achterland de volgende formule op voor de potentiaalvariatie ten gevolge van de waterstandsvariatie:

Waarin:

ϕ(x, t) Potentiaal in zand op locatie x en tijd t [m].

H₀ Amplitude (getij-)golf [m].

ω Hoekfrequentie van (getij-)golf = 2π/T_HW Periode van de hoogwatergolf (getij- of afvoergolf) [s] [rad/s].

λ_ω Instationaire leklengte [m]

λ Stationaire leklengte [m]

T_h Hydrodynamische periode bij eenzijdige afstroming = d²/c_vConsolidatiecoëfficiënt [m²/s] [s].

D Dikte van de watervoerende zandlaag (Pleistoceen) [m].

d Dikte van de deklaag (Holoceen) [m].

c_v Consolidatiecoëfficiënt deklaag [m²/s].

Δ

η

m_r Hulpparameter [-] = (λ''_ω Cyclische lekfactor van het voorland van de dijk [m]/λ'_ω Cyclische lekfactor van het achterland van de dijk [m]) . f_r Functie afhankelijk van lekfactor en rivierbedbreedte, ten behoeve van berekening van niet-stationaire stijghoogte achter de dijk [-][-].

f_r Functie afhankelijk van lekfactor en rivierbedbreedte, ten behoeve van berekening van niet-stationaire stijghoogte achter de dijk [-] Functie van B_r Halve breedte van het rivierbed [m]/λ''_ω Cyclische lekfactor van het voorland van de dijk [m], zie figuur 3b [-].

B_r Halve breedte rivierbed [m].

θ_r Hulpparameter, afhankelijk van breedte rivierbed en lekfactor [-] Functie van B_r Halve breedte van het rivierbed [m]/λ''_ω Cyclische lekfactor van het voorland van de dijk [m], zie figuur 3a [-].

De parameters leklengte, laagdikte deklaag en watervoerende laag, consolidatiecoëfficiënt en hydrodynamische periode hebben voor het voor- en achterland niet per se dezelfde waarde. Als er onderscheid is gemaakt, dan hebben de parameters met één accent betrekking op het achterland; met twee accenten op het voorland.